Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo $G$, il centro $C$ di $G$ è il sottoinsieme di $G$ costituito dagli elementi di $G$ che commutano con tutti gli elementi di $G$ (compresi quelli non appartenenti a $C$), in formule:

$C:=\{c\in G\mid gc=cg{\text{ per ogni }}g\in G\}.$

Se $G$ è un gruppo abeliano, chiaramente, $C=G$.

$C$ è un sottogruppo abeliano e anche un sottogruppo normale di $G$: infatti, presi $c\in C$ e $g\in G$, $gc=cg$ implica $gcg^{-1}=cgg^{-1}=c1_{G}=c$. Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente $G/C$. In particolare vale che il centro è un sottogruppo caratteristico, ovvero è invariante per ogni automorfismo.

Esempi

Consideriamo il gruppo $GL(n,\mathbb {R} )$ delle matrici quadrate invertibili di ordine $n$ ad elementi reali, munite dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità $\lambda I$, cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici $A$ e $B$ tali che esista un $\lambda$ reale per cui valga $A=\lambda B$. I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra di loro.

Altri esempi:

• Il centro del gruppo ortogonale $O(n)$ è dato da $\{I,-I\}$.
• Il centro del gruppo dei quaternioni $Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ è dato da $\{1,-1\}$.

Bibliografia

• Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
• Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic Press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlate

• Teoria dei gruppi
• Centralizzatore
• Classe di coniugio